لتكن A مجموعة جزئية (مجال أو اجتماع عدة مجالات) من مجموعة الأعداد الحقيقية   و f   دالة من  في  

نقول أن الدالة   تنتهي إلى   عندما تنتهي x  إلى النقطة    ونرمز لذلك ﺒ  

 أو

عندما  إذا تحقق الشرط التالي :
من أجل كل عدد حقيقي موجب ε يمكن إيجاد عدد حقيقي موجب آخر(ε )δ =δ بحيث يكون

نقول عن الدالة  انها متصلة خلال الفترة  اذا كانت متصلة لكل  .

ليكن I   مجالا من ،  نقطة من I ,  و
نقول عن الدالة f  أنها قابلة للاشتقاق عند  إذا وجد عدد حقيقي b  بحيث

و تسمى b مشتقة f  عند  و نرمز لها ﺒ
و نقول عن f  أنها قابلة للاشتقاق على مجال  I إذا كانت قابلة للاشتقاق عند كل نقطة من  I وتسمى الدالة

 بالمشتقة الأولى للدالة

إذا كانت الدالة  قابلة للاشتقاق على المجال I  من فإن المشتقة الأولى للدالة  معرفة كما يلي :

ويرمز لها بإحدى الرموز التالية :

معادلة الخط المستقيم ذو الميل  والمار بالنقطة  تعطى بما يلي :

معادلة المماس هي

معادلة العمودي على المماس

الاشتقاق الضمني يستعمل في حساب مشتقة دالة معرفة بشكل ضمني  بمعادلة من الشكل :
دون حل هذه المعادلة وذلك باشتقاق طرفي هذه المعادلة ثم نستخرج قيمة المشتقة  بدلالة  .
ويستعمل الاشتقاق الضمني خاصة عندما يصعب  أو لا يمكن كتابة  بدلالة المتغير  وعندها نكتفي في حساب المشتقة  بكتابة عبارتها بدلالة .

تعرف المشتقة من الرتبة  للدالة  على أنها المشتقة الأولى للمشتقة  للدالة  بشرط أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق  من المرات . فمثلاً المشتقة السابعة هي المشتقة الأولى للمشتقة السادسة ولذلك لإيجاد المشتقة من الرتبة  نبدأ بالدالة فنحسب المشتقة الأولى ثم الثانية ثم الثالثة....ثم المشتقة من الرتبة  ثم المشتقة من الرتبة  
إذاكانت  حيث  دالة في  و لنفرض أن  قابلة لاشتقاق  من المرات على المجال.
فيكون لدينا التعريفات الآتية :

                   (المشتقة الأولى ﻟ  بالنسبة ﻟ )
              (المشتقة الثانية   ﻟ  بالنسبة ﻟ )
             (المشتقة الثالثة ﻟ  بالنسبة ﻟ )
        (للمشتقة الرابعة ﻟ  بالنسبة ﻟ )
            (للمشتقة  ﻟ  بالنسبة ﻟ )

إن قيمة عندما  على المتتالية ( 1 ), هي باستمرار أصغر من 2 وعلى هذا فإننا نقول  تقترب من 2 من اليسار وتكتب . وبالمثل قيمة  عندما  على المتتالية ( 2 ) هي باستمرار أكبر من 2 . ونقول في مثل هذه الحالة أن  تقترب من 2 من اليمين وتكتب .  

إذا كانت المشتقة الأولى على الفترة المفتوحة فإن  دالة متناقصة فعلا على هذه الفترة.

يقال إن  دالة أصلية (تكامل) لدالة  إذا تحققت العلاقة التالية :

 أي أن  بمعني أن تفاضل  هو

تكامل دالة  هو دالة  , حيث  عدد ثابت  و :

ويرمز لتكامل الدالة  بالرمز

ويقرأ بالتكامل غير المحدود  ﻟ  ويسمى العدد الثابت  بثابت التكامل.

لنفرض أننا نريد تكامل

    أو  

نلاحظ أننا لا نستطيع تطبيق قوانين التكامل مباشرة ففي مثل هذه الحالات نحاول حلها بالتجزئة وهي تتمثل في تحويل التكامل الذي لا يمكن حسابه مباشرة إلى مجموع جبري لدالة وتكامل يمكن حسابه.

تسمى الدالة  دالة كسرية ّإذا كانت  و  كثيرات حدود في  .

لتكن الدالة  دالة مستمرة على المجال  ولتكن  تكاملا غير محدد للدالة  فإن التكامل المحدود يعطى بما يلي:

لتكن الدالة  حيث ,  دالتين في  فإن

لتكن الدالة  حيث ,  دالتين في  فان  

لتكن الدالة  حيث    دوال في  فإن

لتكن الدالة  حيث f(x) , g(x)  دالتين في  xو 

فإن

في هذه الحالات تكون النهاية غير معينة وهناك طرق لإزالة عدم التعيين منها التحليل وقسمة البسط على المقام وبالاختصار أو بالقيام بعملية طرح  أو جمع أو باستعمال طرق أخرى.

  عندما نقول ان الدالة متصلة فنحن نعني ان منحنى الدالة مستمر دون انقطاع خلال الفترة المعطاة . أو بصيغة أخرى الدالة معرفة لجميع القيم في الفترة المعطاة.

 الدالة f   متصلة عند النقطة c اذا تحقق