الوسط الحسابي  Arithmetic Mean

          من أهم مقاييس النزعة المركزية، وأكثرها استخداما في النواحي التطبيقية، ويمكن حسابه للبيانات المبوبة وغير المبوبة، كما يلي :

أولا: الوسط الحسابي للبيانات غير المبوبة

          يعرف الوسط الحسابي  بشكل عام على أنه مجموع القيم مقسوما على عددها. فإذا كان لدينا   n من القيم ، ويرمز لها بالرمز :  .

فإن الوسط الحسابي لهذه القيم ، ونرمز له بالرمز  يحسب بالمعادلة التالية:

حيث يدل الرمز  على المجموع.

          فيما يلي درجات 8 طلاب في مقرر الإحصاء.

34    32    42    37    35     40    36     40

والمطلوب إيجاد الوسط الحسابي لدرجات الطلاب.

لإيجاد الوسط الحسابي للدرجات تطبق المعادلة كما يلي:

أي أن الوسط الحسابي لدرجات الطلاب يساوي  37 درجة

ثانيا: الوسط الحسابي للبيانات المبوبة

          من المعلوم أن القيم الأصلية ، لا يمكن معرفتها من جدول التوزيع التكراري ، حيث أن هذه القيم موضوعة في شكل فئات، ولذا يتم التعبير عن كل قيمة من القيم التي تقع داخل حدود الفئة بمركز هذه الفئة، ومن ثم يؤخذ في الاعتبار أن مركز الفئة هو القيمة التقديرية لكل مفردة تقع في هذه الفئة.

فإذا كانت k هي عدد الفئات، وكانت   هي مراكز هذه الفئات،   هي التكرارات ، فإن الوسط الحسابي يحسب بالمعادلة التالية:

          الجدول التالي يعرض توزيع 40 عميل حسب قيمة ودائعهم بالمليون ريال..

والمطلوب إيجاد الوسط الحسابي.

لحساب الوسط الحسابي يتم إتباع الخطوات التالية :

1-   إيجاد مجموع التكرارات                2- حساب مراكز الفئات  

3-   ضرب مركز الفئة في التكرار المناظر له   ، وحساب المجموع 

4-   حساب الوسط الحسابي بتطبيق القانون .

إذا الوسط الحسابي لقيمة الودائع هو :

أي أن متوسط قيمة الودائع للعملاء يساوي  37.4  مليون ريال.

خصائص الوسط الحسابي

يتصف الوسط الحسابي بعدد من الخصائص، ومن هذه الخصائص ما يلي:

1-   الوسط الحسابي للمقدار الثابت يساوى الثابت نفسه، أي أنه إذا كانت قيم  هي: 

فإن الوسط الحسابي هو:

ومثال على ذلك ، لو اخترنا مجموعة من 5 طلاب ، ووجدنا أن كل طالب وزنه 63   كيلوجرام ، فإن متوسط وزن الطالب في هذه المجموعة هو :

2-   مجموع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوى صفرا ، ويعبر عن هذه الخاصية بالمعادلة

ويمكن التحقق من هذه الخاصية باستخدام بيانات مثال (3-1) ،  نجد أن درجات الطلاب هي : 34, 32, 42, 37, 35, 40, 36, 40  ، والوسط الحسابي للدرجة هو   ، إذا :

أي أن :     

3-   إذا أضيف مقدار ثابت إلى كل قيمة من القيم ، فإن الوسط الحسابي للقيم المعدلة (بعد الإضافة) يساوى الوسط الحسابي للقيم الأصلية (قبل الاضافة) مضافا إليها هذا المقدار الثابت . فإذا كانت القيم هي :  ، وتم إضافة مقدار ثابت (a) إلى كل قيمة  من القيم ، ونرمز للقيم الجديدة بالرمز   ، أي أن   ، فإن : الوسط الحسابي لقيم  

(القيم بعد الإضافة) هو:

          حيث أن  هو الوسط الحسابي للقيم الجديدة، ويمكن التحقق من هذه الخاصية باستخدام بيانات مثال رقم (3-1) .

      إذا قرر المصحح إضافة5  درجات لكل طالب، فإن الوسط الحسابي للدرجات المعدلة يصبح قيمته  {(37+5)=42} ، والجدول التالي يبين ذلك .

نجد أن مجموع القيم الجديدة هو :    ، ومن ثم يكون الوسط الحسابي للقيم الجديدة هو :  

4-   إذا ضرب مقدار ثابت (a)  في كل قيمة من القيم ، فإن الوسط الحسابي للقيم المعدلة (القيم الناتجة بعد الضرب) يساوى الوسط الحسابي للقيم الأصلية (القيم بعد التعديل) مضروبا في هذا المقدار الثابت . أى أنه إذا كان :  ، ويكون الوسط الحسابي للقيم الجديدة  هو :

ويمكن للطالب أن يتحقق من هذه الخاصية باستخدام نفس بيانات المثال السابق . فإذا كان تصحيح الدرجة من 50  ، وقرر المصحح أن يجعل التصحيح من 100 درجة ، بمعنى أنه سوف يضرب كل درجة في قيمة ثابتة  (a=2) ، ويصبح الوسط الحسابي الجديد هو :

مزايا وعيوب الوسط الحسابي 

          يتميز الوسط الحسابي بالمزايا التالية :

·      أنه سهل الحساب .

·      يأخذ فيالاعتبار كل القيم.

·      أنه أكثر المقاييس استخداما وفهما.

ومن عيوبه .

·      أنه يتأثر بالقيم الشاذة والمتطرفة .

·      يصعب حسابه فيحالة البيانات الوصفية .

·      يصعب حسابه في حالة الجداول التكرارية المفتوحة لذا نلجأ الى استخدام الوسيط بدلا منه.