الوسيط  Median

هو أحد مقاييس النزعة المركزية، والذي يأخذ في الاعتبار رتب القيم، ويعرف الوسيط بأنه القيمة التي يقل عنها نصف عدد القيم  ، ويزيد عنها النصف الآخر ، أي أن 50% من القيم أقل منه، 50% من القيم أعلى منه. وفيما يليكيفية حساب الوسيط في حالة البيانات غير مبوبة، والبيانات المبوبة.

 

أولا: الوسيط للبيانات غير المبوبة

          لبيان كيف يمكن حساب الوسيط للبيانات غير المبوبة، نتبع الخطوات التالية:

·      ترتب القيم تصاعديا .

·      تحديد رتبة الوسيط، وهي :   رتبة الوسيط = 

·      إذا كان عدد القيم (n) فردي فإن الوسيط هو:

 

·      إذا كان عدد القيم  زوجي، فإن الوسيط يقع بين القيمة رقم ، والقيمة رقم ، ومن ثم يحسب الوسيط بتطبيق المعادلة التالي:

 

مثـال (3-3) 

تم أخذ عينتين من حسابات المودعين في بنكين مختلفين، العينة (a) وهي 7 مودعين من البنك الأول،  والعينة (b) وهي 10 مودعين من البنك الثاني، تم تسجيل الرصيد بالمليون ريال لكل منهما فكان على النحو التالي:

والمطلوب حساب وسيط الرصيد لكل بنك، ثم قارن بينها.

الحـل 

·      أولا : حساب وسيط الرصيد للبنك الأول (a)

·      ترتيب القيم تصاعديا :

 

·      عدد القيم فردى 

·      إذا رتبة الوسيط هي: 

·      ويكون الوسيط هو القيمة رقم 4 ، أي أن الرصيد للبنك a هو:

مليون ريال 

 

ثانيا  : حساب وسيط الرصيد للبنك الثاني (b) :

·      ترتيب القيم تصاعديا .

 

·      عدد القيم زوجي إذا 

 

·      رتبة الوسيط هي :.

·      الوسيط = الوسط الحسابي للقيمتين الواقعتين في المنتصف (رقم 5 ،6 ) .

·      مليون ريال 

 

وبمقارنة العينتين ، نجد أن وسيط رصيد البنكa) ) أقل من وسيط رصيد البنكb)  )،  أي أن:  .

 

 

 

ثانيا: الوسيط للبيانات المبوبة

          لحساب الوسيط من بيانات مبوبة في جدول توزيع تكراري ، يتم إتباع الخطوات التالية .

·      تكوين الجدول التكراري المتجمع الصاعد .

·      تحديد رتبة الوسيط : 

·      تحديد فئة الوسيط كما في الشكل التالي:

 

 

• ويحسب الوسيط ، بتطبيق المعادلة .

حيث أن :

 هي طول فئة الوسيط، وتحسب بالمعادلة التالية:

طول الفئة = الحد الأعلى  – الحد الأدنى

       L = Upper - Lower

 

مثال (3-4)

فيما يلي توزيع 50 محل حسب مبيعاتة اليومية من اللحوم الحمراء بالطن 

 

 

والمطلوب : حساب الوسيط  :     أ - حسابيا          ب- بيانيا

 

الحـل

          أولا : حساب الوسيط حسابيا

·      رتبة الوسيط :

• الجدول التكراري المتجمع الصاعد :

• تحديد فئة الوسيط : وهى الفئة التي تشمل قيمة الوسيط ، وهي قيمة أقل منها  من القيم ، ويمكن معرفتها بتحديد التكرارين المتجمعين الصاعدين الذين يقع بينهما رتبة الوسيط   ، وفى الجدول أعلاه نجد أن رتبة الوسيط (25) تقع بين التكرارين المتجمعين (35 , 16) ، ويكون الحد الأدنى لفئة الوسيط هو المناظر للتكرار المتجمع الصاعد السابق 7.5  ، والحد الأعلى لفئة الوسيط هو المناظر للتكرار المتجمع الصاعد اللاحق 10.5   . أى أن فئة الوسيط هي :      (7.5-10.5) .
• وبتطبيق معادلة الوسيط على هذا المثال نجد أن :

إذا الوسيط قيمته هي :

ثالثا :حساب الوسيط بيانيا

·      تمثيل جدول التوزيع التكراري المتجمع الصاعد بيانيا .

·      تحديد رتبة الوسيط (25) على المنحنى التكراري المتجمع الصاعد . ثم رسم خط مستقيم أفقي حتى يلقى المنحنى في النقطة (a) .

·      إسقاط عمود رأسي من النقطة (a) على المحور الأفقي .

·      نقطة تقاطع الخط الرأسي مع المحور الأفقي تعطى قيمة الوسيط .

·      الوسيط كما هو مبين في الشكل   Med = 8.6  .

 

مزايا وعيوب الوسيط

من مزايا الوسيط

1-  لا يتأثر بالقيم الشاذة أو المتطرفة .

2-   كما أنه سهل في الحساب .

3-  مجموع قيم الانحرافات المطلقة عن الوسيط أقل من مجموع الانحرافات المطلقة  عن أي قيم أخرى . أي أن :

ومن عيوب الوسيط

1-  أنه لا يأخذ عند حسابه كل القيم في الاعتبار، فهو يعتمد على قيمة أو قيمتين فقط .

2-  يصعب حسابه في حالة البيانات الوصفية المقاسة بمعيار اسمي nominal

 

 

 المنوال Mode      

          يعرف المنوال بأنه القيمة الأكثر شيوعا أو تكرارا ، ويكثر استخدامه في حالة البيانات الوصفية ، لمعرفة النمط ( المستوى ) الشائع، ويمكن حسابة للبيانات المبوبة وغير المبوبة كما يلي:

 

أولا: حساب المنوال في حالة البيانات غير المبوبه

 

مثـال (3-5)

          اختيرت عينات عشوائية من مبيعات أربعة مندوبين لمدة 10 أيام لأحد المنتجات، وكانت عدد الوحدات المباعة كالتالي:

والمطلوب حساب منوال المبيعات لكل مندوب :

 

الحـل

هذه البيانات غير مبوبة ، لذا فإن :

المنوال = القيمة الأكثر تكرارا

والجدول التالي يبين منوال االمبيعات لكل مندوب .

 

 

ثانيا: حساب المنوال في حالة البيانات المبوبة:

هنا نحتاج ايجاد المنوال حسابيا من الفئة الأكبر تكرارا باستخدام طريقة الفروق (طريقة بيرسون) كالتالي:

 

حيث أن  :

A : الحد الأدنى لفئة المنوال (الفئة المناظرة لأكبر تكرار) .

  : الفرق الأول = (تكرار فئة المنوال – تكرار سابق)

  : الفرق الثاني = ( تكرار فئة المنوال – تكرار لاحق)

  : طول فئة المنوال .

          فئــة المنوال = الفئة المناظرة لأكبر تكرار

 

مثال (3-6)

فيما يلي توزيع 30 أسرة حسب الإنفاق الاستهلاكي الشهري لها بالألف ريال .

 

 

والمطلوب حساب منوال الإنفاق الشهري للأسرة، باستخدام طريقة الفروق .

الحل

لحساب المنوال لهذه البيانات يتم استخدام المعادلة السابقة، ويتم إتباع الآتي :

·      تحديد الفئة المنوالية

الفئة المنوالية هي  الفئة المناظرة لأكبر تكرار : (8-11) 

 

·      حساب الفروق  ، حيث أن :

 

·      تحديد الحد الأدنى للفئة المنوالية  ، وكذلك طول الفئة 

·      وبتطبيق المعادلة الخاصة بحساب المنوال فى حالة البيانات المبوبة . نجد أن :

 

ثالثا :حساب المنوال بيانيا

مثال (3-7)

جدول التوزيع التكراري الآتي يبين درجات 50 طالب في مادة الإحصاء والمطلوب حساب المنوال بيانيا.

الفئات	12-	16-	19-	23-	26-	30 – 33
التكرار	11	10	15	7	5	2

 

 

 

 

 

الحل:

برسم المنحنى التكراري باتخاذ مراكز الفئات كممثلة للتكرار أي نعين النقاط (13، 11)، (16، 10) ، ... ، (28، 2) في المستوى ثم نصل بينها باليد فنحصل على المنحني التكراري كما مبين بالشكل.

من أعلى نقطة في المنحنى نسقط عموداً على المحور الأفقي ونقطة تقاطعه مع المحور تمثل قيمة المنوال كما مبين بالشكل.

أو من الجدول التكراري كما مبين بالشكل حيث م نقطة تقاطع المستقيان الواصلان من بداية الفئة المنوالية لبداية الفئة اللاحقة، ومن نهاية الفئة المنوالية لنهاية الفئة السابقة، ومسقط م على المحور الأفقي يعطي قيمة المنوال

مزايا وعيوب المنوال

من مزايا المنوال:

1.    المنوال مقياس سهل الفهم والحساب.

2.     يمكن تقدير المنوال عن طريق التخمين والتأمل.

3.    يمكن إيجاد المنوال لبيانات متغير وصفي(نوعي) فعلى سبيل المثال مثلاً لو كانت تقديرات طالب معين في مجموعة امتحانات هي (متوسط، متوسط، مقبول، متوسط، جيد، متوسط، جيد) فإن المنوال في هذه الحالة هو التقدير متوسط باعتباره قد تكرر أكثر من غيره.

4.     لا يتأثر المنوال إطلاقًا بالقيم الشاذة والمتطرفة.

5.    يمكن إيجاد المنوال في حالة التوزيعات التكرارية المفتوحة من طرف واحد أو طرفين.

6.    إمكانية تعيين المنوال هندسيًا.
ومن عيوب المنوال

1.    لا تستند عملية إيجاد المنوال إلى كافة البيانات المتاحة، حيث أنه بمجرد ملاحظة أكبر تكرار يتم معرفة المنوال أو فئته وعندئذ تهمل كافة القيم الأخرى أو الفئات الأخرى.

2.    المنوال لا يخضع للعمليات الجبرية