الانحدار الخطى البسيط Simple Regression       

          إن الغرض من استخدام أسلوب تحليل الانحدار الخطي البسيط، هو دراسة وتحليل أثر متغير كمي على متغير كمي آخر، ومن الأمثلة على ذلك ما يلي:

·      دراسة أثر الإنتاج على التكلفة.

·      دراسة أثر كمية السماد على إنتاجية المزرعة.

·      دراسة أثر كمية البروتين التي يتناولها الشخص على الزيادة في الوزن.

·      أثر الدخل على الإنفاق الاستهلاكي.

وهكذا هناك أمثلة في كثير من النواحي الاقتصادية، والزراعية، والتجارية، والعلوم السلوكية، وغيرها من المجالات الأخرى.

5/3/1 نموذج الانحدار الخطي

          في تحليل الانحدار البسيط، نجد أن الباحث يهتم بدراسة أثر أحد المتغيرين ويسمى بالمتغير المستقل أو المتنبأ منه، على المتغير الثاني ويسمى بالمتغير التابع أو المتنبأ به، ومن ثم يمكن عرض نموذج الانحدار الخطي في شكل معادلة خطية من الدرجة الأولى، تعكس المتغير التابع كدالة في المتغير المستقل كما يلي:

5/3/2 تقدير نموذج الانحدار الخطي البسيط

          يمكن تقدير معاملات الانحدار  في المعادلة باستخدام طريقة المربعات الصغرى، وهذا التقدير هو الذي يجعل مجموع مربعات الأخطاء العشوائية  أقل ما يمكن، ويحسب هذا التقدير بالمعادلة التالية:

حيث أن  هو الوسط الحسابي لقيم  ،   هو الوسط الحسابي لقيم ، وتكون القيمة المقدرة للمتغير التابع هو: ، ويطلق على هذا التقدير " تقدير معادلة انحدار  على    . 

          فيما يلي بيانات عن كمية الانتاج اليومي لأحد المصانع، ومقدار التكلفة بألاف الريالات،  وذلك لعينة حجمها 10 أيام.

والمطلوب :

1-   ارسم نقط الانتشار، وما هو توقعاتك لشكل العلاقة ؟

2-   قدر معادلة انحدار التكلفة بألاف الريالات على كمية الانتاج.

3-   فسر معادلة الانحدار.

4-   ما هو مقدار الزيادة في التكلفة عندما يكون كمية الانتاج 50 وحدة؟ وما هو مقدار الخطأ العشوائي؟

5-   ارسم معادلة الانحدار على نقط الانتشار في المطلوب (1) .

1-   رسم نقط الانتشار:                                        مقدار الزيادة y 

  كمية البروتين x

من المتوقع أن يكون لكمية الانتاج أثر طردي (إيجابي) على مقدار التكلفة بألاف الريالات.

2-   تقدير معادلة الانحدار.

بفرض أن  هي كمية الانتاج  ،  هي مقدار التكلفة بألاف الريالات، يمكن تطبيق المعادلتين في (6-6)، ومن ثم يتم حساب المجاميع التالية:

المجاميع المطلوبة			رر	التكلفة بألاف الريالات	كمية الانتاج
إذا الوسط الحسابي:		100	100	10	10
		121	110	10	11
		196	168	12	14
		225	180	12	15
		400	260	13	20
		625	325	13	25
		2116	874	19	46
		2500	750	15	50
		3481	944	16	59
		4900	1400	20	70
		14664	5111	140	320

·      ويكون حساب  كما يلي:

·      ويمكن حساب  كما يلي:

·      إذا معادلة الانحدار المقدرة، هي:

3-   تفسير المعادلة:

·      الثابت: يدل على أنه في حالة عدم وجود انتاج ، فإن التكلفة تكون 9.44 ألف ريال.

·      معامل الانحدار : يدل على أنه كلما زادت كمية الانتاج وحدة واحدة، حدث زيادة في التكلفة بمقدار 0.143 ، أى زيادة مقدارها 143   ريال.

4-   مقدار التكلفة عند  هو:

          وأما ومقدار الخطأ العشوائي هو:

5-   رسم معادلة الانحدار على نقط الانتشار.

يمكن رسم معادلة خط مستقيم إذا علم نقطتين على الخط المستقيم.

إذا معادلة الانحدار هي:

y

        x