التباين والانحراف المعياري

يعتبر الانحراف المعياري والتباين من أهم مقاييس التشتت الإحصائية. ويرتبط المقياسين بعلاقة رياضية قوية، حيث يمكن دوما الحصول على المقياس الآخر في حال معرفة قيمة احدهما. يرمز للتباين بالرمز  في حال الحصول على قيمته من خلال تغطية مجتمع الدراسة، بينما يتم استخدام الرمز  للدلالة على مقدر التباين المحصل من خلال بيانات عينة عشوائية مسحوبة من مجتمع الدراسة. وبأخذ الجذر التربيعي للتباين يتم الحصول على قيمة الانحراف المعياري وذلك في الحالتين، حالة المجتمع وحالة العينة،

أولا: التباين والانحراف المعياري في المجتمع من بيانات غير مبوبة ( )

إذا توافر لدينا قراءات عن كل مفردات المجتمع ، ولتكن:  ، فإن التباين في المجتمع ، ويرمز له بالرمز (سيجما) يحسب باستخدام المعادلة التالية:

 

          حيث أن  هو الوسط الحسابي في المجتمع ، أى أن :

 .

 

          مصنع لتعبئة المواد الغذائية ، يعمل به 15 عامل ، وكانت عدد سنوات  الخبرة لهؤلاء العمال كما يلي :

 

 

بفرض أن هذه البيانات تم جمعها عن كل مفردات المجتمع ، فأوجد التباين والانحراف المعياري لعدد سنوات الخبرة .

 

الحـل

          لحساب تباين سنوات الخبرة في المجتمع، نتبع التالي.

·      الوسط الحسابي في المجتمع 

 

·      حساب مربعات الانحرافات  

 

بما أن:        

 

إذا تباين سنوات الخبرة للعمال في المصنع هو :

 

 

 

 

ومن ثم نجد أن الانحراف المعياري لسنوات الخبرة لعمال المصنع (المجتمع) ، ويرمز له بالرمز () هو :

 

ويمكن تبسيط المعادلة السابقة في صورة أخرى كما يلي :

ومن ثم يكتب تباين المجتمع على الصورة التالية :

وبالتطبيق على المثال (4-3) ، نجد أن أننا نحتاج إلى المجموعين :  ، ويتم عمل الآتي :

 

ثانيا: التباين والانحراف المعياري في العينة ()

في كثير من الحالات يكون تباين المجتمع  غير معلوم، وعندئذ يتم سحب عينة من هذا المجتمع ، ويحسب التباين من بيانات العينة كتقدير لتباين المجتمع، فإذا كانت قراءات عينة عشوائية حجمها n هي ،  ، فإن تباين العينة ويرمز له بالرمزs2 هو:

 

 

          حيث أن  هو الوسط الحسابي لقراءات العينة، أي أن :   

 

          في المثال (4-3) السابق، إذا تم سحب عينة من عمال المصنع حجمها 5 عمال ، وسجل عدد سنوات الخبرة ، وكانت كالتالي .

 

         

احسب التباين والانحراف المعياري لعدد سنوات الخبرة في العينة .

 

الحــل

          لحساب التباين في العينة نتبع الآتي :

·      الوسط الحسابي في العينة :

 

·      حساب مربعات الانحرافات  

 

 

          أي أن :   ،

·      إذا تباين سنوات الخبرة في العينة قيمته هي :

     

ومن ثم نجد أن الانحراف المعياري لسنوات الخبرة لعمال العينة، ويرمز له بالرمز  ، هو :

          أي أن الانحراف المعياري لسنوات الخبرة في العينة هو 2.92  سنة .

 

يمكن تبسيط الصيغة الرياضية لتباين العينة إلى صيغة سهلة يمكن التعامل معها، وخاصة إذا كانت البيانات تحتوي على قيم كسرية وهي:

 

وبالتطبيق على بيانات المثال السابق، نجد أن :

 

 

·      تباين العينة هو :

·      ومن ثم نجد أن الانحراف المعياري لسنوات الخبرة لعمال العينة، ويرمز له بالرمز ، هو :

 

التباين والانحراف المعياري في حالة البيانات المبوبة

          إذا كانت بيانات الظاهرة، مبوبة في جدول توزيع تكرار، فإن التباين يحسب بتطبيق المعادلة التالية.

وكما نعرف أن الانحراف المعياري هو جذر التباين

 

حيث أن  هو تكرار الفئة،  هو مركز الفئة ،  هي مجموع التكرارات .

 

يبين الجدول التكراري التالي توزيع40  أسرة حسب الإنفاق الشهري بالألف ريال.

 

 احسب التباين والانحراف المعياري للإنفاق الشهري للأسرة

 

الحـــــل

          لحساب التباين والانحراف المعياري للإنفاق الشهري نكون الجدول التالي:

 

         

وبتطبيق المعادلة ، نجد أن التباين قيمته هي :

 

 

أي أن التباين للإنفاق الشهري = 10.98  

والانحراف المعياري للإنفاق الشهري 3.314 ألف ريال.        

  

خصائص الانحراف المعياري 

          من خصائص الانحراف المعياري، ما يلي :

·      أولا : الانحراف المعياري للمقدار الثابت يساوي صفرا ، أي أنه إذا كان لدينا القراءات التالية:

 x: a,  a, a, …,a    حيث أن a مقدار ثابت فإن :  ، حيث أن  تعبر عن الانحراف المعياري لقيم x .

 

·     ثانيا : إذا أضيف مقدار ثابت إلى كل قيمة من قيم المفردات ، فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة (القيم بعد الإضافة) تساوي الانحراف المعياري للقيم الأصلية (القيم قبل الإضافة) ، فإذا كانت القيم الأصلية هي   ، وتم إضافة مقدار ثابت  إلى كل قيمة من قيم  ، فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة :   هي :  :

 

إذا علمت أن الانحراف المعياري لبيانات العينة التالية:3 ,  5 ,  7 ,  9 , 11,13   . هو 3.74

 أوجد

1.    الانحراف المعياري للبيانات السابقة اذا أضفنا3 لكل قيمة.

2.    الانحراف المعياري للبيانات السابقة بعد طرح 2 من كل قيمة.

 

الحـــــل

1.    في حالة اذا أضفنا 3 لكل قيمة من البيانات السابقة نحصل على نفس الانحراف المعياري  (3.74).

2.    كذلك نحصل على نفس الانحراف المعياري في حالة طرح 2 من كل قيمة من البيانات السابقة (3.74).

 

·     ثالثا : إذا ضرب كل قيمة من قيم المفردات في مقدار ثابت ، فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة ، يساوي الانحراف المعياري للقيم الأصلية مضروبا في الثابت، أى أن إذا كان قيم  هي القيم الأصلية، وكانت القيم الجديدة هي :   ، حيث أن  مقدار ثابت ، فإن :  .

ومثال على ذلك ، إذا كان الانحراف المعياري لدرجات عينة من الطلاب هي 4 درجات، وإذا كان التصحيح من 50 درجة، ويراد تعديل الدرجة ليكون التصحيح من 100 درجة، ومعنى ذلك أنه يتم ضرب كل درجة من الدرجات الأصلية في 2 ، ومن ثم يحسب الانحراف المعياري للدرجات المعدلة كالتالي .

   إذا الانحراف المعياري للدرجات المعدلة 8 درجات .

 

 

مزايا وعيوب الانحراف المعياري

          من مزايا الانحراف المعياري

1-أنه أكثر مقاييس التشتت استخداما.

2-   يسهل التعامل معه رياضيا.

3-   يأخذ كل القيم في الاعتبار.

ومن عيوبه ، أنه يتأثر بالقيم الشاذة.